On en déduit que pour tout t assez proche de t 0 , les points M t sont dans
le quart de plan limité par les demi-droites (M t 0 ; − → e 1 ) et (M t 0 ; − → e 2 ).
Pour t assez proche de t 0 , la courbe a la même allure que dans l’exemple 2.
8.3 • Étude en un point singulier
159
e 2
M t 0
x
y
e 1
Cas général. On fait si possible un développement limité en t 0 de x(t)
et de y(t) à un ordre suffisant pour pouvoir écrire un développement
limité vectoriel de la forme
−−−−−→
M t 0 M t 0 +u =
u
p + o(u
p )
− → e 1 + u
q − → e 2 +
−−→
o(u
q )
où q > p 2 et où les vecteurs − → e 1 et − → e 2 sont indépendants.
En raisonnant comme dans les cas particuliers précédents, on montre que
la courbe est tangente en M t 0 à la droite dirigée par − → e 1 .
Pour t assez proche de t 0 , la position de M t 0 +u par rapport aux demi-droites (M t 0 ; − → e 1 ) et (M t 0 ; − → e 2 ) dépend du signe de u et de la parité de p et q.
Exemple 3. Etudions l’allure locale en t = 0 de la courbe paramétrée
x(t) = 1 + t
3 + 2t
4
, y(t) = −t
3 + t
5
Les coordonnées de M 0 sont (1,0). On écrit
x(t)
y(t)
=
1
0
+ t
3
1
−1
+ t
4
2
0
+
o 1 (t
4 )
o 2 (t
4 )
− −− →
M 0 M t = t
3− → e 1 + t
4− → e 2 +
− − →
o(t
4 )
où − → e 1 =
− →
i −
− →
j et − → e 2 = 2
− →
i . Ces vecteurs − → e 1 et − → e 2 sont indépendants.
• La courbe est tangente en M 0 à la droite dirigée par − → e 1 .
• Pour tout t > 0 assez petit,t
3 + o(t
4 ) et t
4 + o(t
4 ) sont positifs, donc M t
est dans le quart de plan limité par les demi-droites (M 0 ; − → e 1 ) et
(M 0 ; − → e 2 ).
9782100545636-Liret-C08.qxd 31/03/10 10:57 Page 159