Pour tout u = / 0 assez proche de 0, u
2 +o(u
3 ) a le signe de u
2
(proposition page 84), donc est positif ; de même, pour tout u assez proche de 0,
u
3 +o(u
3 ) a le signe de u
3
, c’est-à-dire le signe de u.
On en déduit (figure ci-dessous) que pour tout t assez proche de t 0 :
• les points M t sont dans le demi-plan limité par l’axe (M t 0 ; − → e 2 ) et dans
lequel pointe − → e 1 ;
• si t > t 0 , alors M t est dans le quart de plan limité par les demi-droites
(M t 0 ; − → e 1 ) et (M t 0 ; − → e 2 ) ;
• si t < t 0 , alors M t est dans le quart de plan limité par les demi-droites
(M t 0 ; − → e 1 ) et (M t 0 ;
−→
−e 2 ).
Pour t assez proche de t 0 , La courbe a la même allure que dans l’exemple 1.
158
Chapitre 8 • Courbe paramétrée
e 2
e 1
M t 0
x
y
t > t 0
t < t 0
Deuxième cas. Supposons par exemple
x(t 0 +u) = x(t 0 ) + a 1 u
2 + b 1 u
4 + o 1 (u
4 )
y(t 0 +u) = y(t 0 ) + a 2 u
2 + b 2 u
4 + o 2 (u
4 )
On a comme ci-dessus
x(t 0 +u) − x(t 0 )
y(t 0 +u) − y(t 0 )
= u
2
a 1
a 2
+ u
4
b 1
b 2
+
o 1 (u
4 )
o 2 (u
4 )
−−−−−→
M t 0 M t 0 +u = u
2 − → e 1 + u
4 − → e 2 +
−−→
o(u
4 )
où − → e 1 = a 1
− →
i + a 2
− →
j , − → e 2 = b 1
− →
i + b 2
− →
j .
Supposons que les vecteurs − → e 1 et − → e 2 sont indépendants.
En raisonnant comme dans le premier cas, on montre que la courbe est
tangente en M t 0 à la droite dirigée par − → e 1 .
Dans le repère (M t 0 ; − → e 1 , − → e 2 ), les coordonnées du point M t 0 +u sont
u
2 +o(u
4 ),u
4 +o(u
4 )
. On sait que, pour tout u = / 0 assez proche de 0,
u
2 +o(u
4 ) et u
4 +o(u
4 ) sont positifs (page 84).
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