Méthode générale pour étudier un point singulier
Supposons que M t 0 est un point singulier. Puisque le vecteur dérivé en
ce point ne donne pas de renseignement, faisons un développement
limité en t 0 des coordonnées x(t) et y(t), c’est-à-dire un développement
de x(t 0 +u) et de y(t 0 +u) en u = 0.
Le coefficient de u dans chacun de ces développements est égal à 0, car
x
(t 0 ) = y
(t 0 ) = 0 par hypothèse.
Premier cas. Supposons par exemple
x(t 0 +u) = x(t 0 ) + a 1 u
2 + b 1 u
3 + o 1 (u
3 )
y(t 0 +u) = y(t 0 ) + a 2 u
2 + b 2 u
3 + o 2 (u
3 )
où o 1 (u
3 ) et o 2 (u
3 ) désignent comme d’habitude des fonctions négligeables devant u
3
quand u tend vers 0 (page 45). On a
x(t 0 +u) − x(t 0 )
y(t 0 +u) − y(t 0 )
= u
2
a 1
a 2
+ u
3
b 1
b 2
+
o 1 (u
3 )
o 2 (u
3 )
ou encore
−−−−−→
M t 0 M t 0 +u = u
2 − → e 1 + u
3 − → e 2 +
−−→
o(u
3 )
où l’on a posé − → e 1 = a 1
− →
i + a 2
− →
j , − → e 2 = b 1
− →
i + b 2
− →
j ,
et où
−−→
o(u
3 ) désigne une fonction à valeurs dans R
2
dont les coordonnées sont toutes deux négligeables devant u
3
quand u tend vers 0.
Supposons de plus que les vecteurs − → e 1 et − → e 2 sont indépendants.
Quand u tend vers 0, le vecteur
1
u 2
−−−−−→
M t 0 M t 0 +u = − → e 1 + u − → e 2 +
− − →
o(u) tend
vers − → e 1 = /
− →
0 . En utilisant la proposition page 83 on en déduit que
pour tout u = / 0 assez proche de 0,
1
u 2
−−−−−→
M t 0 M t 0 +u est non nul : ce
vecteur est donc un vecteur directeur de la droite (M t 0 M t 0 +u ).
Par conséquent, la tangente à la courbe au point M t 0 est la droite
passant par M t 0 et dirigée par − → e 1 .
Pour voir comment se comportent les points M t quand t est assez proche de t 0 , considérons le repère (M t 0 ; − → e 1 , − → e 2 ) (d’origine M t 0 ).
Les coordonnées de M t 0 +u dans ce repère sont
u
2 +o(u
3 ),u
3 +o(u
3 )
.
8.3 • Étude en un point singulier
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Supposons que M t 0 est un point singulier. Puisque le vecteur dérivé en
ce point ne donne pas de renseignement, faisons un développement
limité en t 0 des coordonnées x(t) et y(t), c’est-à-dire un développement
de x(t 0 +u) et de y(t 0 +u) en u = 0.
Le coefficient de u dans chacun de ces développements est égal à 0, car
x
(t 0 ) = y
(t 0 ) = 0 par hypothèse.
Premier cas. Supposons par exemple
x(t 0 +u) = x(t 0 ) + a 1 u
2 + b 1 u
3 + o 1 (u
3 )
y(t 0 +u) = y(t 0 ) + a 2 u
2 + b 2 u
3 + o 2 (u
3 )
où o 1 (u
3 ) et o 2 (u
3 ) désignent comme d’habitude des fonctions négligeables devant u
3
quand u tend vers 0 (page 45). On a
x(t 0 +u) − x(t 0 )
y(t 0 +u) − y(t 0 )
= u
2
a 1
a 2
+ u
3
b 1
b 2
+
o 1 (u
3 )
o 2 (u
3 )
ou encore
−−−−−→
M t 0 M t 0 +u = u
2 − → e 1 + u
3 − → e 2 +
−−→
o(u
3 )
où l’on a posé − → e 1 = a 1
− →
i + a 2
− →
j , − → e 2 = b 1
− →
i + b 2
− →
j ,
et où
−−→
o(u
3 ) désigne une fonction à valeurs dans R
2
dont les coordonnées sont toutes deux négligeables devant u
3
quand u tend vers 0.
Supposons de plus que les vecteurs − → e 1 et − → e 2 sont indépendants.
Quand u tend vers 0, le vecteur
1
u 2
−−−−−→
M t 0 M t 0 +u = − → e 1 + u − → e 2 +
− − →
o(u) tend
vers − → e 1 = /
− →
0 . En utilisant la proposition page 83 on en déduit que
pour tout u = / 0 assez proche de 0,
1
u 2
−−−−−→
M t 0 M t 0 +u est non nul : ce
vecteur est donc un vecteur directeur de la droite (M t 0 M t 0 +u ).
Par conséquent, la tangente à la courbe au point M t 0 est la droite
passant par M t 0 et dirigée par − → e 1 .
Pour voir comment se comportent les points M t quand t est assez proche de t 0 , considérons le repère (M t 0 ; − → e 1 , − → e 2 ) (d’origine M t 0 ).
Les coordonnées de M t 0 +u dans ce repère sont
u
2 +o(u
3 ),u
3 +o(u
3 )
.
8.3 • Étude en un point singulier
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