satisfont les conditions a 0 et b = a
3/2 , alors en posant t =
√ a, il vient
(a,b) = (t
2 ,t
3 ), donc P = M t .
La partie de la courbe correspondant à t 0 est donc le graphe de la fonction puissance x → x
3/2 , x 0 .
Puisque t → x(t) est paire et t → y(t) impaire, la courbe est symétrique
par rapport à Ox (page 151). Voici le dessin de la courbe :
On dit que le point O est un point de rebroussement.
Les deux branches de la courbe sont de part et
d’autre de la tangente en O.
Quand t parcourt R, le point M t parcourt la
courbe de bas en haut : en effet, t → x(t) est
décroissante sur ]−∞,0] et croissante sur
[0,+∞[, et t → y(t) est croissante sur R.
Exemple 2. Prenons la courbe paramétrée f définie par
f (t) =
x(t),y(t)
= (t
2 ,t
4 +t
5 )
On a f
(t) = (2t,4t
3 +5t
4 ), donc f
(0) = (0,0) : l’origine M 0 = O est un
point singulier. On a
x(t)
y(t)
= t
2
1
0
+ (t
4 +t
5 )
0
1
= t
2
1
0
+ t
4 (1+t)
0
1
ce qui se traduit par l’égalité vectorielle
−−→
O M t = t
2 − →
i + t
4 (1+t)
− →
j
Pour tout t = / 0, le vecteur
1
t 2
−−→
O M t =
− →
i + t
2 (1+t)
− →
j est un vecteur
directeur de la droite (O M t ) . Quand t tend vers 0, ce vecteur tend vers
− →
i ,
donc la courbe est tangente à l’axe Ox au point O.
• Puisqu’on a x(t) 0 quel que soit t, la courbe est située dans le demiplan x 0.
• Pour tout t = / 0 assez proche de 0, on a 1+t > 0, donc y(t) 0 : cela
veut dire qu’au voisinage de l’origine, la
courbe est située dans le demi-plan
y 0.
Voici le dessin de la courbe au voisinage
de O :
Le point O est un point de rebroussement.
Au voisinage de O, les deux branches de la
courbe sont du même coté de la tangente.
156
Chapitre 8 • Courbe paramétrée
x
y
f(t) = (t , t )
2 3
t > 0
t < 0
x
f(t) = (t ,t +t )
y
2 4 5
t > 0
t < 0
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