non nul. Le vecteur f
(t) est donc un
vecteur directeur de la tangente en M t .
La pente de ce vecteur est
u
(t)/1 = u
(t) et l’on retouve bien
qu’au point d’abscisse t, la pente de la
tangente est u
(t).
Tangente horizontale ou verticale
Un vecteur − → v : (a,b) est parallèle à Ox si et seulement si b = 0 ;
− → v est parallèle à Oy si et seulement si a = 0. On en déduit :
® Si x
(t 0 ) = / 0 et y
(t 0 ) = 0, alors la tangente en M t 0 est horizontale.
® Si x
(t 0 ) = 0 et y
(t 0 ) = / 0, alors la tangente en M t 0 est verticale.
Exemple. Reprenons la courbe de l’exemple
page 152.
On a
x
(−3),y
(−3)
= (8/9,0) : la tangente
à
la
courbe
au
point
M −3 : (−10/3,−5) est donc horizontale.
Le tableau de variation montre que la fonction t → y(t) a un maximum local en −3.
Il peut exister des points de la courbe où le vecteur dérivé est nul : en un
tel point, l’étude précédente n’apporte pas de renseignement. Cette siuation sera examinée au paragraphe suivant.
8.3 ÉTUDE EN UN POINT SINGULIER
Soit f : D → R
2
une courbe paramétrée et soit t 0 ∈ D.
Définition. Si f
(t 0 ) = 0, on dit que le point M t 0 est un point singulier de la courbe paramétrée f.
Exemple 1. Prenons la courbe paramétrée f définie par
f (t) = (t
2 ,t
3 )
On a f
(t) = (2t,3t
2 ) , donc f
(0) = (0,0) : l’origine M 0 = O est un point
singulier.
Posons x(t) = t
2 et y(t) = t
3 . Pour t 0, on a t =
√ x(t) et y(t) = t
3
=
x(t)
3/2 : le point M t appartient donc au graphe de la fonction
x → x
3/2 , x 0 . Réciproquement, si les coordonnées (a,b) d’un point P
8.3 • Étude en un point singulier
155
u’(x)
1
x
graphe
de u
–10/3
–5
x
y
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