Définition. Supposons que la courbe paramétrée f est dérivable en t 0
et que le vecteur dérivé f
(t 0 ) n’est pas nul. La tangente à la courbe
au point M t 0 est la droite passant par M t 0 et dirigée par le vecteur
f
(t 0 ).
Équation de la tangente. La tangente en M t 0 est formée des points P
tels que
−−→
M t 0 P est colinéaire au vecteur dérivé
x
(t 0 ),y
(t 0 )
. En notant
(x,y) les coordonnées de P, les coordonnées de
−−→
M t 0 P sont
x−x(t 0 ),y−y(t 0 )
. On sait que deux vecteurs du plan sont colinéaires
si et seulement si le déterminant de leurs coordonnées est nul. L’équation
de la tangente en M t 0 à la courbe est donc
x−x(t 0 ) x
(t 0 )
y−y(t 0 ) y
(t 0 )
= 0
c’est-à-dire
x − x(t 0 )
y
(t 0 ) −
y − y(t 0 )
x
(t 0 ) = 0.
Exemples
1) Considérons le cercle défini par la courbe paramétrée
f (t) = (cos t,sin t) (exemple 1 page 150).
Le vecteur dérivé en t est f
(t) = (−sin t,cos t) . Puisque (sin t)
2
+(cos t)
2 = 1, le vecteur f
(t) n’est pas nul. Le produit scalaire des vecteurs f (t) et f
(t) est
(cos t)(−sin t) + (sin t)[cos t) = 0 ,
donc le vecteur f
(t) est orthogonal à f (t).
Puisque f (t) =
−−→
O M t , on retrouve ainsi qu’en tout point d’un cercle, la tangente est perpendiculaire au rayon.
2) Considérons l’ellipse E définie par la courbe paramétrée
f (t) = (2 cos t,sin t) (exemple 2, page 150). En tout point M t 0 ∈ E, le vecteur dérivé est f
(t 0 ) = (−2 sin t 0 ,cos t 0 ) ; ce vecteur n’est pas nul. La tangente à l’ellipse E au point M t 0 est donc la droite d’équation
x−2 cos t 0 −2 sin t 0
y−sin t 0
cos t 0
= 0
c’est-à-dire (x − 2 cos t 0 ) cos t 0 + (y − sin t 0 )2 sin t 0 = 0.
3) Soit u : D → R une fonction.
La courbe représentative de u est aussi la courbe de f : D → R
2 définie
par f (t) =
t,u(t)
. On a f
(t) =
1,u
(t)
, un vecteur qui est toujours
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Chapitre 8 • Courbe paramétrée
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