lim
t→−∞
x(t) = −∞
lim
t→−∞
y(t) = −∞





lim
t→−1
t<−1
x(t) = −2
lim
t→−1
t<−1
y(t) = −∞





lim
t→−1
t>−1
x(t) = −2
lim
t→−1
t >−1
y(t) = +∞





lim
t→0
t < 0
x(t) = −∞
lim
t→0
t < 0
y(t) = 4





lim
t→0
t > 0
x(t) = +∞
lim
t→0
t > 0
y(t) = 4
lim
t→+∞
x(t) = +∞
lim
t→+∞
y(t) = +∞
Regroupons en un tableau tous ces renseignements : c’est le tableau de variation de la courbe.
8.2 • Vecteur dérivé, tangente
153
t
−∞
−3
−1
0
1
+∞
x
(t)
+
+
–
–
+
y
(t)
+
–
–
–
+
x(t) −∞ −
10
3
−2 −2 −∞
+∞ 2 +∞
y(t) −∞ −5 −∞
+∞ 4
4 3
+∞
8.2.2 Tangente
Nous allons voir que le vecteur dérivé en un point de la courbe permet
souvent de connaître précisément la direction de la courbe en ce point.
Soit M t 0 le point de paramètre t 0 sur la courbe. Pour tout point M t différent de M t 0 , considérons la droite D t passant par M t 0 et M t .
Intuitivement, si la droite D t a une position
limite quand M t tend vers M t 0 , alors cette
position limite est une droite tangente en
M t 0 à la courbe.
Puisque M t = / M t 0 , on a t = / t 0 . Le vecteur
1
t−t 0
−−−→
M t 0 M t est un vecteur directeur de la
droite D t . Ses coordonnées sont
1
t−t 0
−−−→
M t 0 M t :
x(t)−x(t 0 )
t−t 0
y(t)−y(t 0 )
t−t 0
Quand t tend vers t 0 , ce vecteur tend vers le vecteur dérivé
f
(t 0 ) =
x
(t 0 ),y
(t 0 )
. Le vecteur f
(t 0 ), s’il n’est pas nul, est donc un
vecteur directeur de la tangente en M t 0 .
M t
Mt 0
x
y
D t
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