Définition. Soit t 0 ∈ D. Si les fonctions t → x(t) et t → y(t) sont
dérivables en t 0 , on dit que f est dérivable en t 0 . Le vecteur
x
(t 0 ),y
(t 0 )
s’appelle le vecteur dérivé de f en t 0 et se note f
(t 0 ).
Si l’on pense que t représente le temps, le vecteur f
(t 0 ) est le vecteur
vitesse du point mobile M t à l’instant t 0 .
8.2.1 Sens de variation
Supposons que f est dérivable sur D (c’est-à-dire en tout t 0 ∈ D).
Si x
(t) et y
(t) gardent un signe constant sur un intervalle J ⊂ D, alors
on connaît le sens de variation des coordonnées du point M t . On sait
alors quelle direction prend globalement la courbe quand t ∈ J.
Le tableau ci-dessous résume les différentes possibilités :
152
Chapitre 8 • Courbe paramétrée
x
(t) > 0
x
(t) > 0
x
(t) < 0
x
(t) < 0
y
(t) > 0
y
(t) < 0
y
(t) > 0
y
(t) < 0
Exemple. Prenons la courbe paramétrée f dont les fonctions coordonnées
sont
x(t) = t +
1
t
, y(t) = t +
4
t+1
.
L’ensemble de définition de t → x(t) est R \ {0}, celui de t → y(t) est
R \ {−1} , donc l’ensemble de définition de f est D = R \ {−1,0} . Pour
tout t ∈ D, on a
x
(t) = 1 −
1
t 2 =
(t−1)(t+1)
t 2
y
(t) = 1 −
4
(t+1) 2 =
(t+1)
2 − 4
(t+1) 2 =
(t−1)(t+3)
(t+1) 2
Ainsi
• t → x(t) est croissante sur ]−∞,−1[ , décroissante sur ]−1,0[ et ]0,1[,
et croissante sur ]1,+∞[.
• t → y(t) est croissante sur ]−∞,−3[ ,décroissante sur ]−3,−1[ ,]−1,0[
et ]0,1[, et croissante sur ]1,+∞[.
Calculons les limites de x(t) et de y(t) aux bornes des intervalles de définition :
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