® Pour tout t ∈ D, on notera M t ∈ P le point de coordonnées
x(t),y(t)
; le point M t s’appelle le point de paramètre t sur la
courbe.
® Dessiner la courbe paramétrée, c’est représenter l’ensemble C dans le
repère (0;
− →
i ,
− →
j ).
Dans de nombreuses applications, le paramètre t représente le temps : on
dit que M t est un point mobile ; la courbe géométrique est la trajectoire
parcourue par ce point et f est la loi horaire du point mobile.
Exemple 1. Soit f : R → R
2 la courbe paramétrée définie par
f (t) =
cos t, sin t)
L’ensemble C des points M t de coordonnées
cos t, sin t
est le cercle de centre 0 et de
rayon 1 : c’est la courbe géométrique de f.
Quand t parcourt un intervalle de longueur
2π, le point M t décrit le cercle exactement
une fois, dans le sens trigonométrique.
Quand t parcourt R, le cercle est parcouru
une infinité de fois.
Exemple 2. Soit f : R → R
2 la courbe paramétrée définie par
f (t) =
x(t),y(t)
= (2 cos t, sin t)
et soit E la courbe géométrique de f.
Pour tout t, on a
x(t)
2
2 +
y(t)
2 = (cos t)
2 + (sin t)
2 = 1 , donc les
coordonnées
x(t),y(t)
satisfont l’équation
x
2
2 2 + y
2 = 1
(1)
Réciproquement, si un point a des coordonnées (a,b) vérifiant l’équation
(1), alors on a (a/2)
2 + b
2 = 1, donc il existe t ∈ [0,2π [ tel que
a/2 = cos t et b = sin t ; alors a = x(t) et b = y(t), donc le point de
coordonnées (a,b) est sur la courbe E.
Ainsi la courbe E a pour équation (1).
La courbe E est une ellipse ayant pour axes Ox et Oy (figure ci-dessous) ;
ses sommets sont les points de coordonnées (±2,0) et (0,±1).
En effet, pour tout point P : (2 cos t,sin t) de E, considérons le projeté H
de P sur l’axe des abscisses et le point P
: (2 cos t,2 sin t). L’ensemble
des points P
est le cercle (C) de rayon 2 centré à l’origine. Comme on a
−→
H P = (1/2)
− − →
H P
, la courbe E se déduit du cercle (C) par la transforma150
Chapitre 8 • Courbe paramétrée
1
1
t
x
y
M t
cos t
sin t
( (
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