gement de variable u = tan(t/2) dans F(x). En utilisant les formules
du = (1/2)(1 + u
2 )dt et cos t =
1−u 2
1+u 2 , il vient
F(x) =
tan(x/2)
0
2du
a(1 + u 2 ) + b(1 − u 2 )
= 2
tan(x/2)
0
du
p 2 + q 2 u 2
c) On a
X
du
p 2 + q 2 u 2 =
1
p 2
X du
1 +
q
2
p 2 u 2
=
1
p 2
p
q
Arctan
q
p
X
,
d’où
X
du
p 2 + q 2 u 2 =
1
pq
Arctan
q
p
X
D’après (b), on en déduit
F(x) =
2
pq
Arctan
q
p
tan(x/2)
pour tout x tel que 0 < x < π.
Puisque F est continue sur R, on peut passer à la limite quand x tend
vers π par valeurs inférieures :
on a lim
x→π
x<π
tan(x/2) = +∞ et
lim
v→+∞
Arctan v = π/2 , donc
F(π) = lim
x→π
F(x) =
2
pq
π
2
=
π
pq
=
π
√
a 2 − b 2
.
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Chapitre 7 • Calcul d’intégrales
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