Si x = / 0 , on peut diviser par x
2 (1 + x
2 ) > 0 , et il vient
(sin x)
2
x 2
2
1 + x 2 . Si x = 0 , l’encadrement demandé s’écrit
0 f (0) 2 , ce qui est vrai.
d) Soit x > 0. D’après (c), on a f (t)
2
1+t 2 pour tout t ∈ [0,x], donc
x
0
f (t) dt
x
0
2
1 + t 2 dt = 2 Arctan x
Puisque Arctan x π/2 pour tout x, on en déduit F(x) π pour tout
x 0. Ainsi F est croissante et majorée sur [0,+∞[, donc F(x) a une
limite finie quand x tend vers +∞ (théorème page 4).
Si l’on pose = lim
x→0
F(x), alors la droite horizontale d’équation
y = est asymptote à la courbe de F en +∞. Puisque 0 < F(x) π
pour tout x > 0, on a 0 < π (on peut montrer que = π/2 ).
e) La fonction f est paire et F est la primitive de f telle que F(0) = 0.
D’après l’exercice 6.1 page 108, la fonction F est impaire : sa courbe
représentative est symétrique par rapport à l’origne, donc la droite
horizontale d’équation y = − est asymptote en −∞.
La tangente à l’origine a pour pente F
(0) = f (0) = 1.
Solutions
147
Courbe de f
et de x −→
2
1+x 2
x
f
1
2
Courbe de F
x
– ᐉ
ᐉ
7.10 a) Pour tout t, on a −b b cos t b, donc a + b cos t
a − b > 0. Par suite, la fonction t →
1
a+b cos t est définie et continue
sur R, donc elle a des primitives sur R.
b) La fonction ϕ : t → tan(t/2) est une bijection dérivable
[0,π[
ϕ
−−→ [0,+∞[ et ϕ
(t) = (1/2)
1 +
tan(t/2)
2
= / 0 pour tout
t ∈ [0,π[ : puisqu’on a supposé [0,x] ⊂ [0,π[, on peut faire le chan9782100545636-Liret-C07.qxd 31/03/10 10:44 Page 147