(v) Posons A(x) =
x
t (cos 2t)e
−t dt et B(x) =
x
t (sin 2t)e
−t dt .
On a
A(x) + B(x)i =
x
t (cos 2t + i sin 2t)e
−t dt =
x
t e
2it e
−t dt
=
x
t e
(−1+2i)t dt
Posons α = −1 + 2i et cherchons une primitive de la forme
F(x) = (ax + b)e
αx
, où a,b ∈ C. En dérivant cette fonction, on a
F
(x) = ae
αx + α(ax + b)e
αx =
(a + bα) + aαx
e
αx
et comme F
(x) = x e
αx
, prenons a et b tels que
aα = 1 et a + bα = 0
a =
1
α
=
1
−1 + 2i
=
−1 − 2i
5
b =
−a
α
=
1 + 2i
5(−1 + 2i)
=
(1 + 2i)(−1 − 2i)
25
=
3 − 4i
25
Ainsi
F(x) =
−1 − 2i
5
x +
3 − 4i
25
e
(−1+2i)x
=
−1 − 2i
5
x +
3 − 4i
25
(cos 2x + i sin 2x)e
−x
Puisque B(x) est la partie imaginaire de F(x), on trouve ainsi :
x
t (sin 2t)e
−t dt =
−
2x
5
−
4
25
e
−x
cos 2x +
−
x
5
+
3
25
e
−x
sin 2x
L’intégrale
x t (cos 2t)e
−t
dt est la partie réelle de F(x).
7.9 a) On sait que lim
x→0
sin x
x = 1 , donc lim
x→0
f (x) = 1 = f (0). Cela
montre que f est continue en 0. Puisque f est continue sur R
∗
, f est
continue. La primitive F est donc bien définie.
b) On a F
(x) = f (x) 0, donc F est croissante.
c) On sait que pour tout x, on a
sin x
|x| (exemple page 6), donc
(sin x)
2
x
2
. D’autre part, on a 0 (sin x)
2
1 pour tout x. Il s’ensuit
(1 + x
2 )(sin x)
2 = (sin x)
2 + x
2 (sin x)
2
x
2 + x
2 = 2x
2 .
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Chapitre 7 • Calcul d’intégrales
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