et finalement
x (sin t)
3
(cos t) 2 dt = cos x +
1
cos x
.
(iii) Les expressions (cos t)
3
dt et sin t sont invariantes quand on
change t en π − t et dt en −dt. Faisons donc le changement de variable
u = sin t. On a
du = (cos t)dt et (cos t)
3
dt =
1 − (sin t)
2
cos t dt = (1 − u
2 )du
x (cos t)
3
2 + sin t
dt =
sin x 1 − u
2
2 + u
du
Pour calculer cette dernière intégrale, divisons 1 − u
2
par 2 + u : il vient
1 − u
2 = (2 + u)(2 − u) − 3, d’où
sin x 1 − u
2
2 + u
du =
sin x
(2 − u)du − 3
sin x du
2 + u
x (cos t)
3
2 + sin t
dt = 2 sin x −
(sin x)
2
2
− 3 ln
2 + sin x
(iv) Quand on change t en π + t, chacune des expressions sin t et
(cos t)
2 (sin t + cos t) change de signe, donc la fraction est inchangée.
On fait donc le changement de variable u = tan t . On a du =
1 + (tan t)
2
dt =
dt
(cos t) 2 . En divisant par cos t le numérateur et le
dénominateur de la fraction, il vient
sin t
(cos t) 2 (sin t + cos t)
=
tan t
(cos t) 2 (1 + tan t)
donc
x
sin t
(cos t) 2 (sin t + cos t)
dt =
tan x u
1 + u
du
x
sin t
(cos t) 2 (sin t + cos t)
dt =
tan x
1 −
1
1 + u
du
= tan x − ln
1 + tan x
Solutions
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