7.8 (i) On utilise la formule
sin p sin q =
1
2 cos( p − q) −
1
2 cos( p + q) :
π
0
sin at sin bt dt =
1
2
π
0
cos(a − b)t dt −
1
2
π
0
cos(a + b)t dt
• Supposons a = / b . Alors
π
0
cos(a − b)t dt =
sin(a − b)t
a − b
π
0
=
sin(a − b)π
a − b
π
0
cos(a + b)t dt =
sin(a + b)t
a + b
π
0
=
sin(a + b)π
a + b
donc
π
0
sin at sin bt dt =
sin(a − b)π
2(a − b)
−
sin(a + b)π
2(a + b)
.
• Supposons a = b. Alors
π
0
cos(a − b)t dt =
π
0
dt = π
π
0
cos(a + b)t dt =
sin 2at
2a
π
0
=
sin 2aπ
2a
donc
π
0
(sin at)
2 dt =
π
2
−
sin 2aπ
4a
.
• Supposons a et b entiers positifs. Alors a + b et a − b sont entiers.
Puisque sin kπ = 0 quel que soit k ∈ Z, on en déduit
π
0
sin at sin bt dt =
0
si a = / b
π/2 si a = b
(ii) L’expression
(sin t)
3
(cos t) 2 dt est invariante quand on change t en −t et dt
en −dt : en effet
sin(−t)
3 (−dt) = (−sin t)
3 (−dt) = (sin t)
3
dt et cos(−t) = cos t.
On fait donc le changement de variable u = cos t :
du = −(sin t)dt et (sin t)
3
dt =
1 − (cos t)
2
sin t dt = (u
2 − 1)du
x (sin t)
3
(cos t) 2 dt =
cos x u
2 − 1
u 2 du =
cos x
du +
cos x −1
u 2
du
144
Chapitre 7 • Calcul d’intégrales
9782100545636-Liret-C07.qxd 31/03/10 10:44 Page 144