d) Écrivons
x
1
t
√
2t − t 2
dt =
x
1
t − 1
√
2t − t 2
dt +
x
1
dt
√
2t − t 2
.
En posant u(t) = 2t − t
2
, il vient
x
1
t − 1
√
2t − t 2
dt = −
x
1
1 − t
√
2t − t 2
dt = −
x
1
u
(t)
2
√
u(t)
dt
= −
u(t)
x
1
= −
2x − x 2 + 1
On a 2t − t
2 = 1 − (t − 1)
2
, donc
x
1
dt
√
2t − t 2
=
x
1
dt
1 − (t − 1) 2
=
x−1
1
du
√
1 − u 2
par le changement de variable u = t − 1
= Arcsin (x − 1)
Finalement F(x) = Arcsin (x − 1) −
√
2x − x 2 + 1 , pour tout
x ∈ ]0,1[.
e) Puisque Arcsin (−1) = −π/2 et Arcsin (1) = π/2, on en déduit
lim
x→0
F(x) = 1 −
π
2
et lim
x→2
F(x) = 1 +
π
2
.
On a F(1) = 0. Puisque F
(x) =
x
√
2x−x 2
, la tangente à la courbe de F
au point (1,0) a pour pente F
(1) = 1. Voici le dessin de la courbe
de F :
Solutions
143
1
2 x
1 + 2
π
1 – 2
π
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