(iv) La décomposition en éléments simples est de la forme :
1
t 2 (2t 2 + 2t + 1)
=
a
t
+
b
t 2 +
ct + d
2t 2 + 2t + 1
– multiplions par t
2
et faisons t = 0 : on trouve b = 1;
– une racine de 2t
2 + 2t + 1 est α = −
1
2 +
1
2 i ; multiplions par
2t
2 + 2t + 1 et faisons t = α : on trouve cα + d = 1/α
2 = 2i,
c’est-à-dire
−c
2
+ d +
c
2
i = 2i, d’où c = 4 et d = 2 puisque c et d
sont réels.
– multiplions par t et faisons tendre t vers +∞ : on obtient l’égalité
0 = a + 0 + c/2 , donc a = −2.
La décomposition est donc
1
t 2 (2t 2 + 2t + 1)
= −
2
t
+
1
t 2 +
4t + 2
2t 2 + 2t + 1
En posant u(t) = 2t
2 + 2t + 1, on a
4t+2
2t 2 +2t+1
=
u (t)
u(t) , d’où
x
dt
t 2 (2t 2 + 2t + 1)
= −2ln|x| −
1
x
+ ln(2x
2 + 2x + 1)
7.7 a) On a 2x − x
2 = x(2 − x), donc l’ensemble de définition de la
fonction f : x →
x
√
2x−x 2
est ]0,2[. Puisque f est continue sur ]0,2[, sa
primitive F est définie sur I =]0,2[.
b) On a F
(x) =
x
√
2x−x 2
> 0 pour tout x ∈ I, donc F est strictement
croissante. On a F
(x) = f
(x) =
x
(2x−x 2 ) 3/2 > 0 pour tout x ∈ I, donc
F
ne s’annule pas : il s’ensuit que la courbe de F n’a pas de point
d’inflexion.
c) On a lim
x→2
F
(x) = lim
x→2
f (x) = +∞ , donc la courbe de F a une tangente verticale au point d’abscisse 2. De même, on a
lim
x→0
f (x) = lim
x→0
√ x
√
2−x
= 0, donc la courbe de F a une tangente horizontale au point d’abscisse 0.
142
Chapitre 7 • Calcul d’intégrales
9782100545636-Liret-C07.qxd 31/03/10 10:43 Page 142