7.6 Il s’agit de primitives de fonctions rationnelles : la méthode générale est donc de décomposer en éléments simples, puis d’intégrer
chaque élément simple.
(i) Puisque le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur,
calculons d’abord la partie entière de la fraction en faisant la division
euclidienne de t
4
par t
2 − 4 : on a t
4 = (t
2 − 4)(t
2 + 4) + 16, donc
t
4
t 2 − 4
= t
2 + 4 +
16
t 2 − 4
(1)
La décomposition de
1
t 2 − 4
=
1
(t − 2)(t − 2)
est de la forme :
1
(t − 2)(t + 2)
=
a
t − 2
+
b
t + 2
– multiplions par t − 2 et faisons t = 2 : on trouve
1
4
= a ;
– multiplions par t + 2 et faisons t = −2 : on trouve
1
−4
= b .
16
t 2 − 4
=
4
t − 2
−
4
t + 2
(2)
En intégrant (1) et (2), on en déduit
x t
4
t 2 − 4
dt =
x
3
3
+ 4x + 4 ln|x − 2| − 4 ln|x + 2|
(ii) La décomposition de
1
(t + 2)(t 2 − 4)
=
1
(t − 2)(t + 2) 2 est de la
forme :
1
(t − 2)(t + 2) 2 =
a
t − 2
+
b
t + 2
+
c
(t + 2) 2
– multiplions par t − 2 et faisons t = 2 : on trouve
1
4 2 = a ;
– multiplions par (t + 2)
2
et faisons t = −2 : on trouve
1
−4
= c ;
– multiplions par t et prenons la limite quand t tend vers +∞ : on
trouve l’égalité 0 = a + b + 0, d’où b = −a.
1
(t + 2)(t 2 − 4)
=
1/16
t − 2
−
1/16
t + 2
−
1/4
(t + 2) 2
Par suite
x
dt
(t + 2)(t 2 − 4)
=
1
16
ln|x − 2|−
1
16
ln|x + 2|+
1
4(x + 2)
.
140
Chapitre 7 • Calcul d’intégrales
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