d’où
x
1
t
α (ln t) dt =
x
α+1
α + 1
ln x −
x
α+1
(α + 1) 2 +
1
(α + 1) 2 .
Supposons maintenant α = −1. L’intégrale s’écrit
x
1
ln t
t
dt =
x
1
u(t)u
(t) dt , où u(t) = ln t.
Pour tout x > 0, on a donc
x
1
ln t
t
dt =
1
2
(ln t)
2
x
1
=
1
2
(ln x)
2
(v) Par le changement de variable u = t/
√
2, on a t
2 + 2 =
2u
2 + 2 = 2(u
2 + 1) et dt =
√
2 du , d’où
1
0
dt
t 2 + 2
=
1/
√
2
0
√
2 du
2(u 2 + 1)
=
√
2
2
1/
√
2
0
du
u 2 + 1
=
√
2
2
Arctan u
1/
√
2
0
=
√
2
2
Arctan
√
2
2
(vi) Par le changement de variable u =
√
1 + e t , on a e
t = u
2 − 1,
e
t
dt = 2u du, donc dt =
2u du
u 2 − 1
, et il vient
x
0
e
2t
√
1 + e t
dt =
√
1+e x
√
2
(u
2 − 1)
2
u
2u du
u 2 − 1
= 2
√
1+e x
√
2
(u
2 − 1) du
= 2
u
3
3
√
1+e x
√
2
− 2
√
1 + e x −
√
2
=
2
3
(
√
1 + e x )
3 −
2(
√
2)
3
3
− 2
√
1 + e x + 2
√
2
Finalement
x
0
e
2t
√
1 + e t
dt =
2
3
(
√
1 + e x )
3 − 2
√
1 + e x +
2
√
2
3
.
Solutions
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