En posant u(t) = 1 − t
2
, on a u
(t) = −2t et la dernière intégrale s’écrit
x
0
t
√
1 − t 2
dt =
−1
2
x
0
u(t)
−1/2 u
(t) dt
=
−1
2
1
1/2
u(t)
1/2
x
0
= −
1 − t 2
x
0
Ainsi
x
0 Arcsin t dt = x Arcsin x +
√
1 − x 2 − 1.
(iii) On intègre par parties :
x
0
t Arcsin t dt =
t
2
2
Arcsin t
x
0
−
1
2
J , où J =
x
0
t
2
√
1 − t 2
dt (∗)
On a
−J =
x
0
(1 − t
2 ) − 1
√
1 − t 2
dt =
x
0
1 − t 2 dt −
x
0
dt
√
1 − t 2
=
x
0
1 − t 2 dt − Arcsin x
Intégrons par parties dans la dernière intégrale :
x
0
1 − t 2 dt = x
1 − x 2 −
x
0
t
−2t
2
√
1 − t 2
dt = x
1 − x 2 + J
On en déduit l’égalité −J = x
√
1 − x 2 + J − Arcsin x , d’où
−2J = x
1 − x 2 − Arcsin x
−
1
2
J =
1
4
x
1 − x 2 −
1
4
Arcsin x .
En reportant dans (∗), on obtient finalement
x
0
t Arcsin t dt =
x
2
2
Arcsin x +
1
4
x
1 − x 2 −
1
4
Arcsin x
(iv) Supposons α = / − 1. En intégrant par parties, on a pour tout
x > 0 :
x
1
t
α (ln t) dt =
t
α+1
α + 1
ln t
x
1
−
x
1
t
α+1
α + 1
1
t
dt
=
x
α+1
α + 1
ln x −
1
α + 1
x
1
t
α dt
=
x
α+1
α + 1
ln x −
1
α + 1
t α+1
α+1
x
1
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Chapitre 7 • Calcul d’intégrales
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