1
t
√
t − 1
=
1
(1 + u 2 )u
et
dt = 2u du
dt
t
√
t − 1
=
2u du
(1 + u 2 )u
=
2 du
1 + u 2
x dt
t
√
t − 1
=
√ x−1 2
1 + u 2 du
d’où
x dt
t
√
t − 1
= 2 Arctan
√ x − 1 , pour tout x ∈]1,+∞[.
c) La fonction f : x →
1
x ln x est continue sur ]0,1[. Puisque 1/e ∈]0,1[,
il existe une unique primitive F :]0,1[→ R de f telle que F(1/e) = 0.
Pour tout x ∈ ]0,1[, on a
F(x) =
x
1/e
dt
t ln t
=
x
1/e
u
(t)
u(t)
dt en posant u(t) = ln t
=
ln
u(t)
x
1/e
= ln
lnx|
− ln
ln(1/e)
Puisque ln(1/e) = −ln e = −1, on a F(x) = ln
ln x
pour tout
x ∈ ]0,1[.
7.5 (i) Posons u(t) = 1 + t
3
. On a u
(t) = 3t
2
, donc
1
0
t
2
1 + t 3 dt =
1
3
1
0
u(t)
1/2 u
(t) dt
Une primitive de
u(t)
1/2 u
(t) est
1
3/2
u(t)
3/2 , donc
1
0
t
2
1 + t 3 dt =
1
3
2
3
(1 + t
3 )
3/2
1
0
=
2
9
(2
3/2 − 1)
ou encore
1
0
t
2
1 + t 3 dt =
4
√
2 − 2
9
.
(ii) On intègre par parties : la dérivée de Arcsin x est
1
√
1−x 2
, donc
x
0
Arcsin t dt = x Arcsin x −
x
0
t
√
1 − t 2
dt
Solutions
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