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Chapitre 7 • Calcul d’intégrales
Cela montre que l’intégrale de f est la même sur n’importe quel intervalle de longueur T.
7.3 a) On a
sin
t + π
4
= sin t cos π
4 + sin π
4 cos t =
1
√
2
cos t + sin t
, d’où
√
2
sin
t + π
4
cos t
=
cos t + sin t
cos t
= 1 + tan t.
b) Par le changement de variable u = (π/4) − t, il vient
π/4
0
ln
sin
t +
π
4
dt =
0
π/4
ln
sin
π
2
− u
(−du)
=
0
π/4
ln
cos u
(−du)
car sin
π
2
− u
= cos u
=
π/4
0
ln
cos u
du
c) D’après (a), on a ln(1 + tan t) = ln
√
2 + ln sin
t +
π
4
− ln cos t ,
donc
I =
π/4
0
ln(1 + tan t) dt
=
π/4
0
ln
√
2 dt +
π/4
0
ln sin
t +
π
4
dt −
π/4
0
ln cos t dt
=
π/4
0
ln
√
2 dt =
π
4
ln
√
2 =
π ln 2
8
.
7.4 a) On a
x
1
(ln t) dt =
t ln t
x
1
−
x
1
t
1
t
dt = x ln x − x + 1 .
b) La fonction sous le signe intégrale est continue sur I =]1,+∞[,
donc la fonction x →
x dt
t
√
t − 1
est définie sur I. Faisons le changement de variable u =
√
t − 1 : cela est possible car la fonction
ϕ :]1,+∞[→]0,+∞[ définie par ϕ(t) =
√
1 − t est bijective et sa
dérivée ne s’annule pas sur I. On a u
2 = t − 1 , donc t = 1 + u
2
.
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