SOLUTIONS
7.1 a) Pour t = 0, on a u = 0 ; pour t = a, on a u = −a. Puisque
du = −dt , il vient
a
0
f (t) dt =
−a
0
f (−u) (−du) = −
−a
0
f (−u) du
b) (i) Supposons que la fonction f est paire. Alors
a
0
f (t) dt = −
−a
0
f (−u) du =
0
−a
f (−u) du
=
0
−a
f (u) du car f (−u) = f (u) quel que soit u.
Par suite,
a
−a
f (t) dt =
0
−a
f (u) du +
a
0
f (t) dt = 2
a
0
f (t) dt .
b) (ii) Supposons que la fonction f est impaire. Alors
a
0
f (t) dt =
0
−a
f (−u) du = −
0
−a
f (u) du
car f (−u) = − f (u) quel que soit u.
Par suite,
a
−a
f (t) dt =
0
−a
f (u) du +
a
0
f (t) dt = 0 . Ces résultats ont déjà été obtenus dans l’exercice 6.1 page 108 en considérant
une primitive de f.
7.2 a) Quand t = T, on a u = 0 ; quand t = a + T, on a u = a . Il
vient donc
a+T
T
f (t) dt =
a
0
f (u + T ) du =
a
0
f (u) du,
car f (x + T ) = f (x) pour tout x.
b)
a+T
a
f (t) dt =
T
a
f (t) dt +
a+T
T
f (t) dt
=
T
a
f (t) dt +
a
0
f (t) dt d’après
=
T
0
f (t) dt
Solutions
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(a)
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