(ii)
x (sin t)
3
(cos t) 2 dt
(iii)
x (cos t)
3
2 + sin t
dt
(iv)
x
sin t
(cos t) 2 (sin t + cos t)
dt (v)
x
t (sin 2t)e
−t dt
7.9 Soit f : R → R la fonction définie par
f (x) =
sin x
x
2
si x = / 0 et f (0) = 1.
a) Montrer que la fonction f est continue.
Pour tout x ∈ R, posons F(x) =
x
0
sin t
t
2
dt.
b) Quel est le sens de variation de F ?
c) Montrer que pour tout x ∈ R, on a 0 f (x)
2
1 + x 2 .
d) En déduire que F(x) a une limite finie quand x tend vers +∞.
e) Montrer que la fonction F est impaire et dessiner sa représentation
graphique.
7.10 Soient a,b des nombres réels tels que a > b > 0.
a) Montrer que pour tout t ∈ R, on a a + b cos t = / 0. En déduire que
la fonction F telle que F(x) =
x
0
dt
a + b cos t
est définie et continue
sur R.
b) On suppose 0 < x < π . Montrer qu’on peut faire le changement de
variable u = tan(t/2) dans l’intégrale F(x) et qu’en posant
p =
√
a + b et q =
√
a − b, on a F(x) = 2
tan(x/2)
0
du
p 2 + q 2 u 2 .
c) En déduire l’égalité
π
0
dt
a + b cos t
=
π
√
a 2 − b 2
.
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Chapitre 7 • Calcul d’intégrales
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