c) Calculer la primitive F de x →
1
x ln x
telle que F(1/e) = 0. Quel
est l’intervalle de définition de F ?
7.5 Calculer les intégrales suivantes
(i)
1
0
t
2
1 + t 3 dt
(ii)
x
0
Arcsin t dt
(iii)
x
0
t Arcsin t dt
(iv)
x
1
t
α (ln t) dt
(v)
1
0
dt
t 2 + 2
(vi)
x
0
e
2t
√
1 + e t
dt
Pour (iv), séparer le cas α = −1 et intégrer par parties lorsque
α = / − 1.
Pour (vi), faire le changement de variable u =
√
1 + e t .
7.6 Calculer les primitives suivantes :
(i)
x t
4
t 2 − 4
dt
(ii)
x
dt
(t + 2)(t 2 − 4)
(iii)
x
dt
t 2 (t 2 + 2) 2
(iv)
0
x
dt
t 2 (2t 2 + 2t + 1)
7.7 Soit F la primitive de x →
x
√
2x − x 2
telle que F(1) = 0. Notons
I l’intervalle de définition de F.
a) Quelles sont les bornes de I ?
b) Montrer que la fonction F est croissante et que la courbe de F n’a pas
de point d’inflexion.
c) Comment sont les tangentes à la courbe de F aux bornes de I ?
d) Calculer F(x) pour tout x ∈ I.
e) Calculer les limites de F aux bornes de I et dessiner l’allure de la
courbe de F.
7.8 Calculer les intégrales suivantes :
(i)
π
0
sin at sin bt dt, où a > 0 et b > 0 ; étudier le cas a,b ∈ N
∗
.
Exercices
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