EXERCICES
7.1 Soit f : [−a,a] → R une fonction continue.
a) Faire le changement de variable u = −t dans l’intégrale
a
0
f (t) dt .
b) Montrer que
(i) si f est une fonction paire, alors
a
−a
f (t) dt = 2
a
0
f (t) dt ;
(ii) si f est impaire, alors
a
−a
f (t) dt = 0 .
7.2 Soit f : R → R une fonction continue et périodique de période T
(donc f (x + T ) = f (x) quel que soit x ∈ R).
Soit a ∈ R.
a) Montrer que
a+T
T
f (t) dt =
a
0
f (t) dt (faire le changement de
variable u = t − T).
b) En déduire que
a+T
a
f (t) dt =
T
0
f (t) dt .
7.3 Le but de cet exercice est de calculer I =
π/4
0
ln(1 + tan t) dt .
a) Montrer que pour tout t ∈ [0,π/4], on a
1 + tan t =
√
2
sin(t + π/4)
cos t
, sin(t + π/4) > 0 et cos t > 0
b) En utilisant le changement de variable t = (π/4) − u, montrer que
π/4
0
ln
sin(t + π/4)
dt =
π/4
0
ln(cos t) dt
c) En déduire la valeur de I.
7.4 a) Calculer
x
1
ln t dt en intégrant par parties.
b) Calculer
x dt
t
√
t − 1
par le changement de variable u =
√
t − 1.
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Chapitre 7 • Calcul d’intégrales
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