7.8 INTÉGRALE DE P(x)e
αx
OÙ P EST UN POLYNÔME
Le plus simple est de chercher une primitive F de la forme
F(x) =
x
P(x)e
αt dt = Q(x)e
αx
où Q est un polynôme de même degré que P.
Exemple. Calcul de
a
0
(t
2 − t)e
−t dt .
Cherchons le polynôme Q(x) = ax
2 + bx + c pour que la fonction
x → Q(x)e
−x soit une primitive de (x
2 − x)e
−x .
On doit avoir Q
(x)e
−x − Q(x)e
−x = (x
2 − x)e
−x , c’est-à-dire
Q
(x) − Q(x) = x
2 − x pour tout x ∈ R.
(∗)
Puisqu’on a posé Q(x) = ax
2 + bx + c, il vient
Q
(x) − Q(x) = 2ax + b − ax
2 − bx − c
= −ax
2 + (2a − b)x + b − c
et l’égalité (∗) équivaut à −a = 1, 2a − b = −1 et b − c = 0.
On en déduit a = −1, puis b = c = −1. Par suite
a
0
(t
2 − t)e
−t dt =
(−x
2 − x − 1)e
−x a
0
= 1 − (a
2 + a + 1)e
−a
Remarque : on peut calculer de même
A =
x
P(t)e
at cos bt dt et B =
x
P(t)e
at sin bt dt
Pour cela, on applique la méthode précédente à l’intégrale
A + iB =
x
P(t)e
at (cos bt + i sin bt)dt =
x
P(t)e
at e
ibt dt
=
x
P(t)e
αt dt
où α = a + ib , puis l’on sépare partie réelle et partie imaginaire.
7.8 • Intégrale de P(x)e αx où P est un polynôme
131
9782100545636-Liret-C07.qxd 31/03/10 10:43 Page 131