Posons
f (x) = e
(a+ib)x
pour tout x ∈ R,
et calculons la dérivée de f. Puisque f (x) = e
ax
cos bx + i e
ax
sin bx , il
vient
f
(x) = ae
ax
cos bx − be
ax
sin bx + i(ae
ax
sin bx + be
ax
cos bx)
= (a + ib)(e
ax
cos bx + i e
ax
sin bx) = (a + ib)e
(a+ib)x
Enonçons ce qu’on vient de montrer.
Proposition. Si λ ∈ C, la fonction x →e
λx
a pour dérivée x →λe
λx
.
On dérive donc la fonction x → e
λx
comme l’exponentielle réelle.
Application
Utilisons ce résultat pour calculer une primitive de e
ax
cos bx et de
e
ax
sin bx, où a et b sont des réels non nuls.
La fonction x →
1
a+ib e
(a+ib)x
a pour dérivée e
(a+ib)x = f (x). On a
1
a + ib
e
(a+ib)x =
a − ib
a 2 + b 2 (e
ax
cos bx + ie
ax
sin bx) = U (x) + iV (x)
avec
U (x) =
a
a 2 + b 2 e
ax
cos bx +
b
a 2 + b 2 e
ax
sin bx
V (x) =
a
a 2 + b 2 e
ax
sin bx −
b
a 2 + b 2 e
ax
cos bx
Puisque (U + iV )
= f, il vient U
(x) = e
ax
cos bx, V
(x) = e
ax
sin bx
et par suite
U (x) =
x
e
at
cos bt dt =
a cos bx + b sin bx
a 2 + b 2
e
ax
V (x) =
x
e
at
sin bt dt =
−b cos bx + a sin bx
a 2 + b 2
e
ax
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Chapitre 7 • Calcul d’intégrales
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