Puisque
x (1 + u
2 )
2
u 2
du =
x 1 + 2u
2 + u
4
u 2
du = −
1
x
+ 2x +
x
3
3
,
on en déduit que pour tout x ∈]0,π[, on a
x
dt
(sin t) 2 (1 + cos t)
=
1
4
tan(x/2) (1 + u
2 )
2
u 2
du
= −
1
4 tan(x/2)
+
tan(x/2)
2
+
tan(x/2)
3
12
7.7 INTÉGRALE DE e ax sin bx ET e ax cos bx
La fonction exponentielle complexe
Nous allons définir e
z
pour tout nombre complexe z.
On connaît e
x
quand x ∈ R et aussi e iy = cos y + i sin y quand y ∈ R.
Comme on veut que la formule e
x+iy = e
x
e iy soit vraie, on est conduit
à la définition suivante.
Définition. Pour tout nombre complexe z = x + iy, où x,y ∈ R, on
pose e
z = e
x
e iy = e
x (cos y + i sin y) .
Le nombre e
z
s’appelle exponentielle de z.
Ainsi |e
z | = e
x = e
Re z
et si y ∈ [0,2π[, alors Arg(e
z ) = y = Im(z).
Si a,b ∈ R, on a
e
ax (cos bx + i sin bx) = e
(a+ib)x
, pour tout x ∈ R.
La fonction x → e
(a+ib)x
est définie sur R et à valeurs dans C. Nous
allons définir et calculer sa dérivée.
Définition. Soit I un intervalle ouvert et f : I → C une fonction.
Pour tout x ∈ I, écrivons f (x) = u(x) + iv(x), où u : I → R et
v : I → R sont des fonctions à valeurs réelles. Si u et v sont dérivables, on définit la dérivée de f en posant : f
(x) = u
(x) + iv
(x) ,
pour tout x ∈ I.
On vérifie que si f et g sont dérivables et si λ ∈ C, alors
( f + g)
= f
+ g
, (λ f )
= λ f
et ( f g)
= f
g + f g
.
7.7 • Intégrale de e
ax sin bx et e
ax cos bx
129
9782100545636-Liret-C07.qxd 31/03/10 10:43 Page 129