Il faut se rappeler les formules suivantes :
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Chapitre 7 • Calcul d’intégrales
sin(−t) = −sin t
sin(π − t) = sin t
sin(π + t) = −sin t
cos(−t) = cos t
cos(π − t) = −cos t
cos(π + t) = −cos t
Autres cas : faire le changement de variable u = tan(t/2).
Puisque tan
(x) = 1 + (tan x)
2
, on a alors du =
1
2 (1 + u
2 )dt.
Par les formules
u = tan(t/2), dt =
2 du
1 + u 2 , cos t =
1 − u
2
1 + u 2 et sin t =
2u
1 + u 2 ,
on est ramené à intégrer une fonction rationnelle de la variable u.
Exemple 1. Calculons
x
0
(cos t)
3
1 + (sin t) 2 dt .
Quand on change t en π − t dans
(cos t) 3
1+(sin t) 2 dt, on obtient
(−cos t) 3
1+(sin t) 2 (−dt)
=
(cos t) 3
1+(sin t) 2 dt, donc nous faisons le changement de variable u = sin t dans
l’intégrale. On a du = (cos t)dt et
(cos t)
3
1 + (sin t) 2 dt =
(cos t)
2
1 + (sin t) 2 (cos t dt) =
1 − u
2
1 + u 2 du
x
0
(cos t)
3
1 + (sin t) 2 dt =
sin x
0
1 − u
2
1 + u 2 du
=
sin x
0
−1 − u
2
1 + u 2 du +
sin x
0
2
1 + u 2 du
= −sin x + 2 Arctan (sin x)
Exemple 2. Calculons une primitive de
1
(sin x) 2 (1 + cos x)
sur ]0,π[.
Les test du tableau précédent échouent : on fait donc le changement de
variable u = tan(t/2) . Calculons :
du =
1 +
tan(t/2)
2 1
2
dt =
1 + u
2
2
dt, donc dt =
2 du
1 + u 2 ;
sin t =
2u
1 + u 2 et 1 + cos t = 1 +
1 − u
2
1 + u 2 =
2
1 + u 2
dt
(sin t) 2 (1 + cos t)
=
2 du
1 + u 2
1 + u
2
2u
2 1 + u
2
2
=
(1 + u
2 )
2
4u 2
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