C. Cas où p et q sont tous deux pairs
L’identité (sin x)
2 +(cos x)
2 =1 permet de se ramener au cas précédent.
Par exemple
x
0
(sin t)
2 (cos t)
4 dt =
x
0
1 − (cos t)
2
(cos t)
4 dt
=
x
0
(cos t)
4 dt −
x
0
(cos t)
6 dt
Autre méthode : linéariser
Pour n ∈ N
∗
, on écrit (sin x)
n
et (cos x)
n
comme une somme de fonctions a sin(kx) et b cos(kx), où les entiers k sont compris entre 0 en n.
Exemple. Calculons de cette manière G(x) =
x
0
(cos t)
4 dt .
On a 2 cos t = e it + e
−it , donc en développant par la formule du binome :
2
4 (cos t)
4 = e
4it + 4e
2it + 6 + 4e
−2it + e
−4it
= e
4it + e
−4it + 4
e
2it + e
−2it
+ 6
= 2 cos(4t) + 8 cos(2t) + 6
Ainsi G(x) =
x
0
(cos t)
4 dt =
x
0
cos(4t)
8
+
cos(2t)
2
+
3
8
dt
=
sin(4x)
32
+
sin(2x)
4
+
3x
8
Dans l’exemple précédent, nous avions trouvé une primitive F(x) dont
l’expression était différente. Mais comme on a F(0) = 0 = G(0), on en
déduit F(x) = G(x) quel que soit x ∈ R.
7.6 INTÉGRALE DE FONCTIONS RATIONNELLES EN SINUS
ET COSINUS
Il s’agit d’intégrales de la forme
x F(cos t,sin t) dt, où F est une fonction rationnelle à deux variables.
7.6 • Intégrale de fonctions rationnelles en sinus et cosinus
127
Si F(cos t, sin t) dt est invariant
faire le changement
quand on change
de variable
t en −t et dt en −dt
u = cos t
t en π − t et dt en −dt
u = sin t
t en π + t
u = tan t
9782100545636-Liret-C07.qxd 31/03/10 10:43 Page 127