Exemple. Calculons
x
(sin t)
3 (cos t)
4 dt .
On écrit
(sin t)
3 (cos t)
4 = (cos t)
4 (sin t)
2
sin t = (cos t)
4 1 − (cos t)
2 sin t,
d’où
x
(sin t)
3 (cos t)
4 dt =
x
(cos t)
4 1 − (cos t)
2 sin t dt
=
−cos x
u
4 (1 − u
2 ) du
(u = −cos t)
=
−cos x
(u
4 − u
6 ) du = −
(cos x)
5
5
+
(cos x)
7
7
B. Intégrale de (sin x) n et de (cos x) n , n pair
On cherche une primitive de (cos x)
n
sous la forme
F(x) = a 1 (cos x)
n−1
sin x + a 3 (cos x)
n−3
sin x + · · ·
+ a n−1 cos x sin x + mx,
où les a i et m sont des nombres réels. Pour trouver ces nombres, on calcule F
(x) en l’exprimant comme un polynôme en cos x, et l’on identifie les coefficients dans l’égalité F
(x) = (cos x)
n
.
Pour (sin x)
n
, cherche une primitive sous la forme
a 1 (sin x)
n−1
cos x + a 3 (sin x)
n−3
cos x + · · · + a n−1 sin x cos x + mx.
Exemple. Calculons F(x) =
x
0
(cos t)
4 dt .
Posons F(x) = a(cos x)
3
sin x + b cos x sin x + mx . On a
F
(x) = a(cos x)
4 − 3a(cos x)
2 (sin x)
2 + b(cos x)
2 − b(sin x)
2 + m
= a(cos x)
4 −3a(cos x)
2
1−(cos x)
2
+b(cos x)
2 −b
1−(cosx)
2
+m
= 4a(cosx)
4 + (−3a + 2b)(cos x)
2 − b + m
On doit avoir 4a = 1, −3a + 2b = 0 et −b + m = 0, ce qui donne
a = 1/4, puis m = b = 3/8. On en déduit
F(x) =
1
4
(cos x)
3 sin x +
3
8
cos x sin x +
3
8
x
Remarque : Cette méthode marche encore pour trouver une primitive de
1
(cos x) n ou de
1
(sin x) n quand n est pair. Pour
1
(cos x) n par exemple, on cherche une
primitive F sous la forme
F(x) = a 1
sin x
(cos x) n−1 + a 3
sin x
(cos x) n−3 + · · · + a n−1
sin x
cos x
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Chapitre 7 • Calcul d’intégrales
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