x
u 2 − 4 du = x
x 2 − 4 −
x
u
2u
2
√ u 2 − 4
du
= x
x 2 − 4 −
x u
2 − 4+4
√ u 2 − 4
du
= x
x 2 − 4 −
x
u 2 − 4 du − 4
x du
√ u 2 − 4
Au second membre, il réapparait
x
u 2 −4 du avec un signe moins. En
regroupant dans le premier membre, on obtient
2
x
u 2 − 4 du = x
x 2 − 4 − 4
x du
√ u 2 − 4
(1)
Faisons le changement de variable u = 2v dans la dernière intégrale :
x du
√ u 2 −4
=
x/2 2dv
2
√
v 2 −1
= ln
x
2
+
x
2
2
−1
= ln
x+
√ x 2 −4
2
Avec l’égalité (1), on obtient finalement
a
1
t 2 +2t−3 dt
=
x+1
2
x 2 +2x−3
a
1
− 2
ln
x+1+
x 2 +2x−3
a
1
=
a+1
2
a 2 +2a−3 − 2 ln
a+1+
a 2 +2a−3
+ 2 ln 2
7.5 INTÉGRALE DE (sin x) p (cos x) q , p,q ∈ N
A. Cas où l’un des exposants p ou q est impair
Il s’agit par exemple de calculer
x
(sin t)
p (cos t)
2q+1 dt . On écrit
(sin t)
p (cos t)
2q+1 = (sin t)
p (cost)
2q
cos t = (sin t)
p
1−(sin t)
2 q cos t
En développant le terme
1−(sin t)
2
q par la formule du binôme, on voit
qu’il est de la forme P(sin t) où P est une fonction polynôme (de degré
2q). Donc la fonction à intégrer s’écrit
(sin t)
p (cos t)
2q+1 = (sin t)
p P(sin t)cos t = Q(sin t)cos t,
où Q(x) = x
p
P(x) est encore un polynôme. Faisons le changement de
variable u = sin t dans l’intégrale : on a du = (cos t)dt, donc
x
(sin t)
p (cos t)
2q+1 dt =
x
Q(sin t) cos t dt =
sin x
Q(u) du
et la dernière intégrale est facile à calculer.
7.5 • Intégrale de (sin x)
p (cos x)
q , p, q ∈ N
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