Finalement, d’après (2) et (3), on obtient pour tout x > −1 :
x
0
t
2 + 2
t 3 + 1
dt = ln(x+1) +
2
√ 3
Arctan
2x−1
√ 3
+
π
3
√ 3
7.4 INTÉGRALE DE
ax + b
x 2 + px + q
ET DE
x 2 + px + q
Comme ci-dessus, on écrit la forme canonique
x
2 + px+q =
x+
p
2
2 ± m
2 = T (x)
2 ± m
2
, où T (x) = x+
p
2 .
Dans la première intégrale, on fera apparaître T (x) au numérateur.
Exemple 1. Trouver une primitive de
x
√ x 2 + 2x − 3
.
Cette fonction est définie et continue sur ]−∞,−3[ et ]1,+∞[. Appelons I
l’un de ces intervalles et cherchons une primitive sur I. Pour tout x ∈ I, on a
x
t
√ t 2 +2t−3
dt =
x
t+1
√ t 2 +2t−3
dt −
x
1
√ t 2 +2t−3
dt (1)
x
t + 1
√ t 2 + 2t−3
dt =
x 2 +2x−3 du
2
√ u
(changement de variable u = t
2 +2t−3)
=
x 2 +2x−3
car
z du
2
√ u
=
√ z.
Calculons la dernière intégrale dans (1) :
x
dt
√ t 2 +2t−3
=
x
dt
(t+1) 2 −4
=
x+1
2
2dv
2
√
v 2 −1
(changement de variable 2v = t+1)
= ln
x+1
2
+
x+1
2
2
−1
car
z dv
√
v 2 −1
= ln
z+
z 2 −1
.
Finalement,
x
tdt
√ t 2 +2t−3
=
x 2 +2x−3 − ln
x+1+
x 2 +2x−3
.
Exemple 2. Calculons
a
1
t 2 + 2t − 3 dt , pour a > 1 .
On a
x
t 2 +2t−3 dt =
x
(t+1) 2 −4 dt =
x+1
u 2 −4 du par le
changement de variable u = t+1. Intégrons par parties :
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Chapitre 7 • Calcul d’intégrales
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