a
1
t+1
t 2 −2t+5
dt =
1
2
a
1
2t−2
t 2 −2t+5
dt + 2
a
1
dt
(t−1) 2 +4
=
1
2
ln(x
2 −2x+5)
a
1
+ 2
1
2
arctan
x−1
2
a
1
=
1
2
ln(a
2 −2a+5) − ln2 + arctan
a−1
2
Exemple 2. Calculons
x
0
t
2 + 2
t 3 + 1
dt pour tout x > −1.
Dans la fraction F(x) =
x 2 +2
x 3 +1
, le degré du numérateur est inférieur au
degré du dénominateur, donc la partie entière de F(x) est nulle. On a la
factorisation
x
3 + 1 = (x + 1)(x
2 − x + 1), où x
2 −x+1 n’a pas de racine réelle.
La décomposition en éléments simples de F(x) est de la forme :
x
2 + 2
(x + 1)(x 2 − x + 1)
=
a
x + 1
+
px + q
x 2 − x + 1
(1)
– Multiplions (1) par x+1 et faisons tendre x vers −1 : le premier membre
tend vers
(−1) 2 +2
(−1) 2 −(−1)+1
= 1 et le second vers a, donc a = 1.
– En faisant x = 0 dans (1), il vient 2 = a+q , donc q = 1 .
– Multiplions (1) par x et faisons tendre x vers +∞ : le premier membre
tend vers 1, le second tend vers a+ p, donc a+ p = 1, et par suite p = 0.
Ainsi
x
2 + 2
(x + 1)(x 2 − x + 1)
=
1
x + 1
+
1
x 2 − x + 1
d’où en intégrant :
x
0
t
2 + 2
t 3 + 1
dt =
x
0
dt
t + 1
+
x
0
dt
t 2 − t + 1
(2)
On a
1
x 2 −x+1
=
1
x− 1
2
2
+ 3
4
et par le changement de variable u = t−
1
2
, on
obtient
x
0
dt
t 2 − t + 1
=
x
0
dt
t−
1
2
2 + 3/4
=
x− 1
2
− 1
2
du
u 2 +
3
4
(3)
Puisque
x du
u 2 +
3
4
=
2
√ 3
Arctan
2x
√ 3
, il vient
x− 1
2
− 1
2
du
u 2 +
3
4
=
2
√ 3
Arctan
2
x−
1
2
√ 3
+
2
√ 3
Arctan
1
√ 3
=
2
√ 3
Arctan
2x−1
√ 3
+
π
3
√ 3
car Arctan
1
√ 3
=
π
6
.
7.3 • Intégrale d’une fonction rationnelle
123
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