® Cas n = 2. On écrit
m
2 I 2 =
x (t
2 +m
2 ) − t
2
(t 2 +m 2 ) 2 dt =
x dt
t 2 +m 2 −
x t
2
dt
(t 2 +m 2 ) 2
= I 1 (x) − J (x) , où J (x) =
x t
2
dt
(t 2 +m 2 ) 2 .
Pour calculer J (x), on intègre par parties en posant
u
(t) =
2t
(t 2 +m 2 ) 2 et v =
1
2
t.
On a alors u(t) =
−1
t 2 +m 2 , v
(t) =
1
2
et
J (x) =
x t
2
dt
(t 2 +m 2 ) 2 =
x
u
(t)v(t) dt = u(x)v(x) −
x
u(t)v
(t) dt
=
−x
2(x 2 +m 2 )
−
1
2
x −dt
t 2 +m 2 =
−x
2(x 2 +m 2 )
+
1
2m
Arctan
x
m
Finalement, I 2 (x) =
1
2m 3 Arctan
x
m
+
1
2m 2
x
x 2 +m 2 .
® Cas n 3. En procédant de même, on obtient l’égalité
m
2 I n (x) = I n−1 (x) − H (x), où H (x) =
x t
2
dt
(t 2 +m 2 ) n .
(1)
On intègre par parties dans l’intégrale H (x), en prenant u
(t) =
2t
(t 2 +m 2 ) n et v =
1
2
t , ce qui donne
H (x) =
1
2(1−n)
x
(x 2 +m 2 ) n−1 +
1
2(n−1)
I n−1 (x)
(2)
Les égalités (1) et (2) permettent de calculer I n (x) de proche en proche.
Exemple 1. Calculons
a
1
t + 1
t 2 − 2t + 5
dt .
On a x
2 −2x+5 = (x−1)
2 + 4 > 0 pour tout x, donc la fonction rationnelle sous le signe intégrale a des primitives sur R. Puisque
t+1 =
1
2
(2t−2)+2 , il vient
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Chapitre 7 • Calcul d’intégrales
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