Calcul de
x
at+b
(t 2 + pt + q) n dt, où p
2 −4q < 0
1. On commence par faire apparaître au numérateur la dérivée 2t+ p du
polynôme t
2 + pt+q : on calcule les nombres α et β pour avoir l’égalité
de polynômes
at + b = α(2t+ p) + β
On a donc α = a/2 et β = b− pa/2.
2. Il vient
at+b
(t
2 + pt+q)
n
= α
2t+ p
(t
2 + pt+q)
n
+ β
1
(t
2 + pt+q)
n
( * )
L’intégrale
x
2t+ p
(t
2 + pt+q)
n
dt est de la forme
x
u(t)
−n u
(t) dt ,
donc son calcul est immédiat (voir page 106).
3. Dans (∗), il reste à calculer
x
dt
(t
2 + pt+q)
n
. Écrivons la forme
canonique de t
2 + pt+q :
t
2 + pt+q = (t+ p/2)
2 + q− p
2 /4 = (t+ p/2)
2 + m
2
où m est une racine carrée du nombre positif q− p
2 /4.
Par le changement de variable u = t+ p/2, on a dt = du et l’intégrale
devient
x
dt
(t+ p/2) 2 + m 2
n =
x+ p/2
du
u 2 + m 2
n = I n
x+ p/2
où l’on a posé I n (x) =
x
du
u 2 + m 2
n .
® Cas n = 1. D’après l’exemple 1 page 119, on sait que
I 1 (x) =
x dt
t 2 + m 2 =
1
m
Arctan
x
m
.
7.3 • Intégrale d’une fonction rationnelle
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