dt
t
√ 1−t 2
=
u
1−
1
u 2
−du
u 2 = −
du
u
1−
1
u 2
= −
du
√ u 2 −1
x dt
t
√ 1 − t 2
= −
1/x du
√ u 2 − 1
Puisque
x du
√ u 2 − 1
= ln
x+
x 2 −1
, on en déduit
x dt
t
√ 1 − t 2
= −ln
1
x
+
1
x 2 −1
= −ln
1
x
1+
1−x 2
Pour tout x ∈ ]−1,0[, ou pour tout x ∈]0,1[, on a donc
x dt
t
√ 1−t 2
= ln|x| − ln
1+
1−x 2
7.3 INTÉGRALE D’UNE FONCTION RATIONNELLE
Toute fonction rationnelle f (x) =
P(x)
Q(x) est continue sur les intervalles où
elle est définie, donc elle y possède des primitives. Pour calculer une
primitive de f, on décompose f (x) en la somme de sa partie entière et
d’éléments simples fractionnaires (voir le tome d’Algèbre).
La partie entière étant un polynôme, elle s’intègre facilement.
Deux types d’éléments simples fractionnaires peuvent apparaître :
® des fractions
a
(x−α) n
® des fractions
ax+b
(x 2 + px + q) n , où le polynôme x
2 + px+q n’a pas de
racine réelle (p
2 −4q < 0).
Calcul de
x dt
(t−α) n
C’est une primitive à connaître (tableau page 107) :
x
1
(t − α) n dt =



1
1−n
1
(x − α) n−1 si n = / 1
ln|x−α|
si n = 1
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Chapitre 7 • Calcul d’intégrales
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