Pratique du changement de variable
Pour faire le changement de variable x → ϕ(x) dans l’intégrale
b
a f (t) dt,
• on pose u = ϕ(t)
• on change les bornes : a devient ϕ(a) et b devient ϕ(b) ;
• on remplace f (t) par son expression f
ϕ
−1 (u)
en la variable u ;
• on calcule du = ϕ
(t)dt ,
et l’on remplace dt par
du
ϕ (t) où l’on a exprimé ϕ
(t) au moyen de la
variable u.
Par un bon changement de variable, le calcul de l’intégrale peut devenir
facile.
Exemple 1. Calcul de
x
0
dt
t
2 + m
2
, où m = / 0.
Faisons le changement de variable u = t/m.
– Les bornes deviennent 0 et x/m ,car pour t = 0,on a u = 0 et pour t = x,
on a u = x/m ;
– on a t = mu, t
2 +m
2 = m
2 u
2 +m
2 = m
2 (u
2 +1) et dt = mdu.
x
0
dt
t
2 + m
2
=
x/m
0
mdu
m 2 (u
2 + 1)
=
1
m
x/m
0
du
u
2 + 1
On sait que
x
0
du
u
2 + 1
= Arctan x, donc
x
0
dt
t
2 + m
2
=
1
m
Arctan
x
m
Exemple 2. Calculons
x dt
t
√ 1−t 2
.
La fonction sous le signe intégrale est continue sur chacun des intervalles
I 1 =]0,1[ et I 2 =]−1,0[, donc elle a des primitives sur I 1 et des primitives
sur I 2 . Faisons le changement de variable u = 1/t : la fonction utilisée est
donc ϕ : t → 1/t et l’on a ici ϕ = ϕ
−1 .
On a t =
1
u
donc dt = −
1
u 2 du, d’où :
1
t
√ 1−t 2
=
u
1−
1
u 2
7.2 • Méthode du changement de variable
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