On veut écrire la fonction f sous la forme
x → g
ϕ(x)
ϕ
(x) = (g ◦ ϕ)
(x) .
Pour cela, on définit la fonction g : J → R en posant
g(x) = f
ψ(x)
ψ
(x) =
f ◦ ψ(x)
ψ
(x) pour tout x ∈ J .
En effet, on a alors pour tout x ∈ I :
g
ϕ(x)
=
f ◦ ψ
ϕ(x)
ψ
ϕ(x)
=
f ◦ ψ ◦ ϕ(x)
ψ
ϕ(x)
= f (x)ψ
ϕ(x)
car ψ ◦ ϕ(x) = x
g
ϕ(x)
ϕ
(x) = f (x)ψ
ϕ(x)
ϕ
(x)
= f (x) car ψ
ϕ(x)
ϕ
(x) = (ψ ◦ ϕ)
(x) = 1 .
Supposons qu’on ait calculé une primitive G de g. Alors la fonction
F = G ◦ ϕ vérifie
F
(x) = G
ϕ(x)
ϕ
(x) = g
ϕ(x)
ϕ
(x) = f (x) pour tout x ∈ I ,
donc F est une primitive de f.
Définition. Soit ϕ : I → J une bijection dérivable telle que ϕ
(x)
garde un signe constant sur I. Faire le changement de variable
x → ϕ(x) dans l’intégrale
x f (t) dt, c’est remplacer cette intégrale
par
ϕ(x)
f ◦ ψ(t)
ψ
(t) dt
où ψ = ϕ
−1
: J → I est la bijection réciproque de ϕ.
Voici les formules du changement de variable :
x
f (t) dt =
ϕ(x)
f ◦ ψ(t)
ψ
(t) dt
b
a
f (t) dt =
ϕ(b)
ϕ(a)
f ◦ ψ(t)
ψ
(t) dt
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Chapitre 7 • Calcul d’intégrales
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