1
2 α +
1
3 α + · · · +
1
n α
2
1
dt
t α +
3
2
dt
t α + · · · +
n
n−1
dt
t α =
n
1
dt
t α
En ajoutant 1, il vient u n 1 +
n
1
dt
t α
.
c) Puisque
x dt
t α =
x
1−α
1 − α
, on en déduit que pour tout n 1 :
1 +
n
1
dt
t α = 1 +
n
1−α
1 − α
−
1
1 − α
=
α
α − 1
+
n
1−α
1 − α
Comme on a supposé α > 1, on a
n 1−α
1−α < 0, d’où
u n 1 +
n
1
dt
t α
α
α − 1
pour tout n 1.
d) La suite (u n ) est croissante, car u n − u n−1 =
1
n α
> 0. D’après (c), la
suite (u n ) est majorée (par
α
α−1 ). Par conséquent, la suite (u n ) est
convergente et sa limite est un nombre au plus égal à
α
α−1 .
Remarque : l’hypothèse α > 1 est essentielle, car nous avons montré
(exercice 2.1 page 38) que la suite de terme général
s n = 1 +
1
2 +
1
3 + · · · +
1
n a pour limite +∞.
6.9 a) On a
F
(x) = e
−(2x) 2 × 2 − e
−x 2 = 2e
−4x 2 − e
−x 2 = e
−x 2
2e
−3x 2 − 1
b) F(0) =
0
0
e
−t 2 dt = 0. La fonction f : x → e
−x 2
2e
−3x 2 − 1
est
paire et F est la primitive de f qui vaut 0 en 0, donc (exercice 6.1) la
fonction F est impaire.
c) D’après (a), on a les équivalences :
F
(x) > 0 ⇐⇒ 2e
−3x 2 > 1 ⇐⇒ (ln 2) − 3x
2 > 0
⇐⇒| x| <
ln2
3
1/2
La fonction F est donc croissante sur
−
√
(ln2)/3,
√
(ln2)/3
et
décroissante sur chacun des intervalles
−∞,−
√
(ln2)/3
et
√
(ln2)/3,+∞
114
Chapitre 6 • Intégrale et primitive
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