d) Soit x > 0. Pour majorer F(x), remarquons que pour tout t ∈ [x,2x],
on a t
2
x
2
donc 0 e
−t 2 e
−x 2 . Par suite :
0 F(x) =
2x
x
e
−t 2 dt (2x − x)e
−x 2 = xe
−x 2 pour tout x > 0.
On sait que lim
x→+∞
xe
−x 2 = 0, donc lim
x→+∞
F(x) = 0.
e) Calculons le développement limité de F
(x) à l’ordre 2 en 0 (on
gagnera un ordre en intégrant) :
e
−x 2 = 1 − x
2 + o(x
2 ) et e
−3x 2 = 1 − 3x
2 + o(x
2 )
2e
−3x 2 − 1 = 2(1 − 3x
2 ) − 1 + o(x
2 ) = 1 − 6x
2 + o(x
2 )
F
(x) = e
−x 2
2e
−3x 2 − 1
= (1 − x
2 )(1 − 6x
2 ) + o(x
2 )
= 1 − 7x
2 + o(x
2 )
Intégrons terme à terme (page 48) et tenons compte de F(0) = 0. On
obtient le développemnt limité à l’ordre 3 :
F(x) = x −
7
3
x
3 + o(x
3 )
La tangente à la courbe de F en (0,0) a donc pour équation y = x et en
tout point x > 0 assez petit, la courbe est en dessous de cette tangente.
La courbe de F est symétrique par rapport à l’origine car d’après (b), F
est impaire. Puisqu’on a F(x) > 0 pour tout x > 0, F(x) est du signe
de x. D’après (d), la courbe a pour asymptote horizontale l’axe des abscisses. Voici un dessin de la courbe de F (le repère n’est pas normé) :
Solutions
115
1
x
y
0,2
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