6.7 a) En posant v(x) =
sin(nx)
n , on a v
(x) = cos(nx), donc
I n =
b
a
f (t)v
(t) dt =
f (x)
sin(nx)
n
b
a
−
b
a
f
(t)
sin(nt)
n
dt
=
1
n
f (x) sin(nx)
b
a
−
1
n
b
a
f
(t) sin(nt) dt
b) Puisque la fonction f
est supposée continue sur [a,b], la fonction
x → f
(x) sin(nx) est continue sur [a,b], donc elle est bornée : il existe
un nombre M > 0 tel que, pour tout x ∈ [a,b], on a
f
(x) sin(nx)
M.
On en déduit
1
n
b
a
f
(t) sin(nt) dt
1
n
b
a
f
(t) sin(nt)
dt
1
n
b
a
M dt =
1
n
M(b − a)
Par suite
|I n |
f (b) sin(nb) − f (a) sin(na)
n
+
1
n
b
a
f
(t) sin(nt) dt
(inégalité triangulaire)
f (b) sin(nb) − f (a) sin(na)
n
+
M(b − a)
n
| f (b)|
n
+
| f (a)|
n
+
M(b − a)
n
(inégalité triangulaire)
Dans le dernier membre, chaque terme tend vers 0 quand n tend vers
+∞, donc lim I n = 0.
6.8 a) Soit k un entier au moins égal à 2. Pour tout t ∈ [k − 1,k], on a
0 < t k, donc
1
k
1
t et
1
k α
1
t α . En intégrant de k − 1 à k, il vient
k
k−1
1
k α dt
k
k−1
1
t α dt. On a
k
k−1
1
k α dt =
1
k α
k − (k − 1)
=
1
k α ,
d’où l’inégalité demandée.
b) Pour n = 1, l’inégalité est vraie car u 1 = 1. Supposons n 2 et ajoutons les inégalités
1
k α
k
k−1
dt
t α pour k = 2,. . . ,n :
Solutions
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