D’après la règle pour dériver une fonction composée, on en déduit
G
(x) = F
v(x)
v
(x) − F
u(x)
u
(x)
= f
v(x)
v
(x) − f
u(x)
u
(x)
6.5 a) Pour tout x > 0, on a f
(x) =
1 − 3x
2
√
2x (1 + x 2 )
. Le signe de f
(x)
est celui de 1 − 3x
2
, donc on a f
(x) > 0 si 0 x
1
√
3
, et f
(x) < 0
si x >
1
√
3
. La fonction f est croissante sur
0,
1
√
3
et décroissante sur
1
√
3
,+∞
, donc elle a un maximum en
1
√
3
. Le maximum de f vaut
M = f
1
√
3
=
2
√
3
1
1 +
1
3
=
3
√
2
4
4
√
3
b) On a 0 f (x) M pour tout x 0, donc 0
f (x)
n M
n
pour
tout x 0, et par suite
0
a
0
√
2t
1 + t 2
n
dt
a
0
M
n dt = M
n a
( * )
Remarquons que l’on a M
4 =
3 4 ×2 2
4 4 ×3
=
3 3
4 3
< 1, donc 0 < M < 1. Par
conséquent, la suite géométrique (M
n ) tend vers 0. D’après l’encadrement (∗), la suite de terme général
a
0
√
2t
1 + t 2
n
dt a pour limite 0.
6.6 On a
1
0 t
n
dt =
x n+1
n+1
1
0
=
1
n+1 . Majorons |I n | :
|I n | =
1
0
t
n
cos(πt) dt
1
0
t
n
cos(πt)
dt =
1
0
t
n
cos(πt)
dt
1
0
t
n dt car
cos(πt)
1 et t
n
0 pour 0 t 1
1
n + 1
Puisque lim
1
n + 1
= 0, il s’ensuit lim I n = 0.
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Chapitre 6 • Intégrale et primitive
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