On retrouve ainsi que F est dérivable en 0, car
lim
x→0
x>0
F(x) − F(0)
x − 0
= lim
x→0
x>0
F(x)
x
= lim
x→0
x
2
2x
= lim
x→0
x
2
= 0
lim
x→0
x<0
F(x) − F(0)
x − 0
= lim
x→0
x<0
F(x)
x
= lim
x→0
−x
2
2x
= lim
x→0
−x
2
= 0
La fonction x →| x| n’étant pas dérivable en 0, la fonction F
n’est pas
dérivable en 0, autrement dit, F n’est pas deux fois dérivable en 0.
6.3 a) Puisque f est bornée, il existe un nombre M > 0 tel que
−M f (x) M pour tout x ∈ I. Soit x 0 et x appartenant à I.
• Supposons x 0 x et intégrons l’inégalité f (x) M entre x 0 et x :
x
x 0
f (t) dt
x
x 0
M dt = M(x − x 0 ) = M|x − x 0 |
(1)
• Supposons x x 0 et intégrons entre x et x 0 :
x 0
x
f (t) dt
x 0
x
M dt = M(x 0 − x) = M|x − x 0 |
(2)
Les deux nombres
x
x 0
f (t) dt et
x 0
x f (t) dt étant opposés, on en déduit
que pour tout x ∈ I, on a
x
x 0
f (t) dt
M|x − x 0 |.
b) Soit x 0 ∈ I. Pour tout x ∈ I, on a
F(x) − F(x 0 ) =
x
a
f (t) dt −
x 0
a
f (t) dt =
x
x 0
f (t) dt
D’après (a), on en déduit
F(x) − F(x 0 )
M|x − x 0 | pour tout x ∈ I.
Puisque M|x − x 0 | tend vers 0 quand x tend vers x 0 , on a
lim
x→x 0
F(x) − F(x 0 ) = 0, donc F est continue en x 0 . Cela étant vrai quel
que soit x 0 ∈ I, la fonction F est continue sur I.
6.4 Choisissons a ∈ I et posons F(x) =
x
a f (t) dt. On a donc
G(x) =
v(x)
u(x)
f (t) dt =
v(x)
a
f (t) dt −
u(x)
a
f (t) dt
= F
v(x)
− F
u(x)
Solutions
111
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