c) Étudier les variations de F.
d) Montrer que lim
x→+∞
F(x) = 0.
e) Calculer le développement limité de F en 0 à l’ordre 3 et dessiner la
courbe de F.
SOLUTIONS
6.1 Posons G(x) = F(−x). On a
G
(x) = −F
(−x) = − f (−x) pour tout x ∈ ] − a,a[
a) Supposons que f est impaire, donc f (−x) = − f (x). Alors on a
G
(x) = f (x) = F
(x) pour tout x ∈ ] − a,a[ . Puisque G(0) = F(0),
on en déduit G(x) = F(x) pour tout x ∈ ] − a,a[ , c’est-à-dire
F(−x) = F(x) : la fonction F est donc paire. Les autres primitives de
f sont x → F(x) + c, donc ce sont des fonctions paires.
b) Supposons que f est paire, donc f (−x) = f (x). Alors on a
G
(x) = − f (x) = (−F)
(x) pour tout x ∈ ] − a,a[ . Puisque
G(0) = 0 = (−F)(0) , on en déduit G = −F, autrement dit
G(x) = −F(x) pour tout x ∈ ] − a,a[ . Cela veut dire que la fonction
F est impaire.
6.2 Puisque la fonction x →| x| est continue sur R, on sait que la fonction F est dérivable et que F
(x) = |x| pour tout x ∈ R.
• Supposons x 0. Pour tout t ∈ [0,x], on a |t| = t, donc
F(x) =
x
0
|t| dt =
x
0
t dt =
x
2
2
• Supposons x 0. Pour tout t ∈ [x,0], on a |t| = −t , donc
F(x) =
x
0
|t| dt =
x
0
−t dt = −
x
0
t dt = −
x
2
2
110
Chapitre 6 • Intégrale et primitive
graphe de F
| x |
graphe de x
x
x
9782100545636-Liret-C06.qxd 31/03/10 10:40 Page 110