6.5 Pour tout x 0, posons f (x) =
√
2x
1 + x 2 .
a) Etudier les variations de la fonction f. Montrer que f a pour maximum
3
√
2
4
4
√
3
.
b) Soit a > 0. En déduire que la suite de terme général
a
0
√
2t
1+t 2
n
dt a
pour limite 0.
6.6 Pour tout n ∈ N
∗
, calculer
1
0 t
n
dt. Posons I n =
1
0 t
n
cos(πt)dt.
Montrer que lim
n→+∞
I n = 0.
6.7 Soit f : [a,b] → R une fonction dérivable telle que f
est continue.
Pour tout n ∈ N
∗
, posons I n =
b
a
f (t) cos(nt) dt.
a) Montrer que
I n =
1
n
f (x) sin(nx)
b
a
−
1
n
b
a
f
(t) sin(nt) dt
b) Montrer que la fonction x → f
(x) sin(nx) est bornée sur [a,b]. En
déduire lim
n→+∞
I n = 0.
6.8 Soit α > 1. Pour tout entier n 1, posons
u n = 1 +
1
2 α +
1
3 α + · · · +
1
n α
a) Montrer que pour tout entier k 2, on a
1
k α
k
k−1
dt
t α .
b) Montrer que pour tout entier n 1, on a u n 1 +
n
1
dt
t α .
c) En déduire que pour tout entier n 1, on a u n α
α−1 .
d) Montrer que la suite (u n ) est convergente.
6.9 Pour tout x ∈ R, posons F(x) =
2x
x
e
−t 2 dt.
a) Calculer F
(x) (appliquer l’exercice 6.4).
b) Calculer F(0) et montrer que la fonction F est impaire (appliquer
l’exercice 6.1).
Exercices
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