• Pour encadrer
b
a f (t) dt, il faut penser à encadrer f :
Si a < b et si l’on a m f (x) M pour tout x ∈ [a,b], alors
m(b − a)
b
a
f (t) dt M(b − a)
CONSEIL
® Apprenez les primitives usuelles (tableau page 107), elles vous serviront
à calculer bien d’autres intégrales.
EXERCICES
6.1 Soit f : ] − a,a[→ R une fonction continue et soit F la primitive de
f telle que F(0) = 0.
a) Montrer que si la fonction f est impaire, alors F est paire.
b) Montrer que si la fonction f est paire, alors F est impaire.
6.2 Calculer F(x) =
x
0 |t| dt pour tout x ∈ R. Montrer que la fonction
F est dérivable sur R, mais pas deux fois dérivable en 0.
6.3 Soit I un intervalle et f : I → R une fonction intégrable. Rappelons
qu’une fonction intégrable est (par définition) bornée.
a) Montrer qu’il existe M tel que
x
x 0
f (t) dt
M|x − x 0 | pour tous x
et x 0 appartenant à I.
b) Soit a ∈ I. Pour tout x ∈ I, posons F(x) =
x
a f (t) dt.
En déduire que la fonction F est continue sur I.
6.4 Soit I un intervalle et f : I → R une fonction continue. Soit
u : J → I et v : J → I des fonctions dérivables, où J est un intervalle.
Pour tout x ∈ J, posons G(x) =
v(x)
u(x) f (t) dt .
Montrer que pour tout x ∈ J, on a G
(x) = f
v(x)
v
(x)−
f
u(x)
u
(x).
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Chapitre 6 • Intégrale et primitive
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