Primitives à connaître
6.3 • Règles de calcul et primitives à connaître
107
x dt
t + a
= ln|x + a|
x
(t + a)
α dt =
(x + a)
α+1
α + 1
si α = / − 1
x
e
at dt =
e
ax
a
x
cos at dt =
sin ax
a
x
sin at dt = −
cos ax
a
x
ch at dt =
sh ax
a
x
sh at dt =
ch ax
a
x dt
cos 2 t
= tan x
x dt
sin
2
t
= −
1
tan x
x dt
1 + t 2 = Arctan x
x dt
√
1 − t 2
= Arcsin x
x dt
√
1 + t 2
= ln
x +
x 2 + 1
x dt
√
t 2 − 1
= ln
x +
x 2 − 1
Toutes ces égalités se retrouvent en dérivant.
Ces formules ne sont valables que dans un intervalle où la fonction sous
le signe intégrale est définie. Par exemple,
– l’égalité
x dt
t−a = ln|x − a| est valable pour tout x ∈ ] − ∞,a[ et
pour tout x ∈ ]a,+∞[ ;
– l’égalité
x dt
√
1−t 2
= Arcsin x est valable pour tout x ∈ ] − 1,1[.
Comparaison et encadrement d’intégrales
• Pour comparer
b
a f (t) dt et
b
a g(t) dt, il faut penser à comparer les
fonctions f et g :
® Si a < b et si f (x) g(x) pour tout x ∈ [a,b], alors
b
a
f (t) dt
b
a
g(t) dt
® a > b et si f (x) g(x) pour tout x ∈ [b,a], alors
b
a
f (t) dt
b
a
g(t) dt
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