Puisque F(x) =
x f (t) dt, on a F
u(x)
=
u(x) f (t) dt , d’où la formule
x
f
u(t)
u
(t) dt =
u(x)
f (t) dt
Prenons par exemple f (x) = x
α
. Sur ]0,+∞[, la fonction f a pour primitive
F(x) =



x
α+1
α + 1
si α = / − 1
ln x
si α = −1
On a ainsi
x
u(t)
α u
(t) dt =



u(x)
α+1
α + 1
si α = / − 1
ln |u(x)| si α = −1
Exemple. Soit n ∈ N
∗ . L’intégrale
x sin t
( cos t) n dt est de la forme
x
u(t)
−n u
(t) dt, où u(t) = cos t. On a donc
x sin t
(cos t) n dt =
(cos x)
−n+1
−n + 1
= −
1
(n − 1)(cos x) n−1 si n = / 1.
Dans le cas n = 1, on obtient l’égalité :
x
tan t dt = ln|cos x|
Intégration par parties
Si u et v sont des fonctions dérivables à dérivées continues,
x
u(t)v
(t) dt = u(x)v(x) −
x
u
(t)v(t) dt
b
a
u(t)v
(t) dt =
u(x)v(x)
b
a
−
b
a
u
(t)v(t) dt
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Chapitre 6 • Intégrale et primitive
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