On montre de même que lim
x→0
x<0
1
x
x
0
u(t) dt = 0, d’où
lim
x→0
1
x
x
0
u(t) dt = 0
(2)
D’après (1), on a
F(x) − F(0)
x
= f (0) +
1
x
x
0
u(t) dt . D’après (2), on en
déduit lim
x→0
F(x) − F(0)
x
= f (0), ou encore F
(0) = f (0) .
Soit G une primitive de f, donc G(x) = F(x) + c , où c ∈ R. On a alors
G(b) − G(a) = F(b) − F(a) = F(b) − 0 =
b
a
f (t) dt
J
Notation
Si f est une fonction continue, il est commode de noter x →
x f (t) dt
une primitive de f. On écrira ainsi des égalités à constante près, comme
−cos x=
x
sin t dt , 1 − cos x=
x
sin t dt ou ln(x + 1)=
x+1 1
t
dt.
Remarque : dans une égalité F(x) =
x f (t) dt , la variable t peut être remplacée par n’importe quelle autre, sauf x ; on a ainsi par exemple :
x
f (t) dt =
x
f (u) du =
x
f (v) dv
On dit que, dans ces expressions, les variables t,u,v sont muettes.
6.3 RÈGLES DE CALCUL ET PRIMITIVES À CONNAÎTRE
Voici les règles qu’il faut penser à utiliser quand on veut calculer une
primitive.
Linéarité
x
f (t) + g(t) dt =
x
f (t) dt +
x
g(t) dt
et
x
λ f (t) dt = λ
x
f (t) dt
Reconnaître la dérivée d’une composée
Si F est une primitive de f et si u est une fonction dérivable, alors
F
u(x)
a pour dérivée F
u(x)
u
(x) = f
u(x)
u
(x) .
6.3 • Règles de calcul et primitives à connaître
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